Términos no definidos de la Geometría: punto, línea y superficie.
Con estos conceptos se inicia el proceso de la definición y por lo tanto constituyen la base sobre la cual se sustentan las definiciones de todos los demás conceptos geométricos. Sin embargo por medio de descripciones intuitivas, es posible darles significados a los conceptos no definidos. Estas descripciones intuitivas, no deben considerarse como definiciones.
EL PUNTO
El punto solo tiene posición. No posee longitud, anchura y espesor.
Se representa por medio de ( . ).
Se puede considerar como la huella dejada por un alfiler sobre una hoja de papel.
El punto geométrico se representa por medio de una letra mayúscula, así:
LA LÍNEA
La línea posee longitud, pero carece de anchura, y espesor. Se puede representar por medio de un trazo dejado por un lapicero sobre una hoja de papel o por una tiza sobre un tablero. Una línea se designa con letras mayúsculas o por medio de una letra minúscula.
Las líneas pueden ser rectas, curvas o combinación de estas.
LÍNEA RECTA: Se puede considerar como engendrada por un punto que se mueve siempre en la misma dirección.
LÍNEA CURVA: Se considera como originada por un punto que cambia constantemente de dirección.
LÍNEA QUEBRADA: Es la combinación de partes de líneas rectas.
NOTA: La línea recta es de longitud ilimitada. se le puede prolongar indefinidamente en los dos sentidos.
SEGMENTO DE RECTA
Es la porción de recta comprendida entre dos de sus puntos.
Angulo: Es la unión de dos Semi-rectas. Las dos rectas son los lados del ángulo. Lo representamos
por AOB.
Vértice: Es el punto fijo O; el cual es el punto de intersección de los lados
del ángulo. En la figura es la
región externa del Ángulo.
La magnitud o valor de un ángulo no depende de la longitud de sus lados, sino de la mayor o menor abertura que hay entre ellos.
Medir un ángulo es compararlo con otro que se toma como unidad.
Existen dos sistemas de medida de los ángulos: el sistema sexagesimal y el radián
SISTEMA SEXAGESIMAL
La unidad principal es el grado sexagesimal, la cual tiene dos submúltiplos: los minutos y los segundos. Cada grado se subdivide en 60 partes iguales llamadas minutos y cada minuto en 60 partes iguales llamadas segundos. Un ángulo de 30 grados, 15 minutos y 18 segundos, se escribe en forma abreviada: 30o 15´ 18”
EL TRANSPORTADOR: Para realizar en forma práctica la medida de un ángulo, se utiliza el instrumento conocido como transportador. Corrientemente es un semicírculo dividido en 180 partes iguales que tiene doble graduación, cuyo valor individual es un grado. En muchos casos es un circulo graduado, subdividido en 360o
Bisectriz: La bisectriz de un ángulo es la semi-recta que lo divide en dos partes iguales. En la Figura OM es la bisectriz del ángulo AOM.
ANGULO POSITIVO
Es el ángulo medido en el sentido contrario a las manecillas de un reloj.
ANGULO NEGATIVO
Es el ángulo medido en el mismo sentido de las manecillas de un reloj.
El punto geométrico se representa por medio de una letra mayúscula, así:
LA LÍNEA
La línea posee longitud, pero carece de anchura, y espesor. Se puede representar por medio de un trazo dejado por un lapicero sobre una hoja de papel o por una tiza sobre un tablero. Una línea se designa con letras mayúsculas o por medio de una letra minúscula.
Las líneas pueden ser rectas, curvas o combinación de estas.
LÍNEA RECTA: Se puede considerar como engendrada por un punto que se mueve siempre en la misma dirección.
LÍNEA CURVA: Se considera como originada por un punto que cambia constantemente de dirección.
LÍNEA QUEBRADA: Es la combinación de partes de líneas rectas.
NOTA: La línea recta es de longitud ilimitada. se le puede prolongar indefinidamente en los dos sentidos.
SEGMENTO DE RECTA
Es la porción de recta comprendida entre dos de sus puntos.
Angulo: Es la unión de dos Semi-rectas. Las dos rectas son los lados del ángulo. Lo representamos
por AOB.
Vértice: Es el punto fijo O; el cual es el punto de intersección de los lados
del ángulo. En la figura es la
región externa del Ángulo.
La magnitud o valor de un ángulo no depende de la longitud de sus lados, sino de la mayor o menor abertura que hay entre ellos.
Medir un ángulo es compararlo con otro que se toma como unidad.
Existen dos sistemas de medida de los ángulos: el sistema sexagesimal y el radián
SISTEMA SEXAGESIMAL
La unidad principal es el grado sexagesimal, la cual tiene dos submúltiplos: los minutos y los segundos. Cada grado se subdivide en 60 partes iguales llamadas minutos y cada minuto en 60 partes iguales llamadas segundos. Un ángulo de 30 grados, 15 minutos y 18 segundos, se escribe en forma abreviada: 30o 15´ 18”
EL TRANSPORTADOR: Para realizar en forma práctica la medida de un ángulo, se utiliza el instrumento conocido como transportador. Corrientemente es un semicírculo dividido en 180 partes iguales que tiene doble graduación, cuyo valor individual es un grado. En muchos casos es un circulo graduado, subdividido en 360o
Bisectriz: La bisectriz de un ángulo es la semi-recta que lo divide en dos partes iguales. En la Figura OM es la bisectriz del ángulo AOM.
ANGULO POSITIVO
Es el ángulo medido en el sentido contrario a las manecillas de un reloj.
ANGULO NEGATIVO
Es el ángulo medido en el mismo sentido de las manecillas de un reloj.
A C T I V I D A D E S
1. Dibujar con el transportador los siguientes ángulos y trazar la bisectriz en cada uno de ellos:
a) 60o b) 1640 c) 120o d) 240o e) 35o f) 1350 g) 45o h) 260o i) 114o j) 100o
2. Cuál es el valor de los ángulos que forman las manecillas del reloj cuando son:
a) 12 m b) 3 p.m c) 9 y ¼ a.m d) 6 p.m e) 3 y ½ a.m f) 12 y 45 p.m
C L A S E S D E Á N G U L O S
Complementarios y Suplementarios
Complementarios
Son dos ángulos cuya suma es igual a 90o, o a un ángulo recto
Suplementarios
Son dos ángulos cuya suma es igual a 180o, o a un ángulo llano o colineal
Según su posición
Consecutivos
Tienen un lado común que separe a los otros dos.
Teorema: Los ángulos consecutivos formados a un lado
De una recta, suman 180o
Adyacentes
Son los que tienen un lado común y los otros dos lados
Pertenecen a una misma recta.
Teorema: Dos ángulos adyacentes son suplementarios
Opuestos por el vértice
Son los que tienen el mismo vértice y los lados de uno son la prolongación de los lados del otro
Teorema: Los ángulos opuestos por el vértice son iguales
Según su medida
Agudo
Es el que mide menos de 90º
Recto
Es el que mide 90º
Obtuso
Es el que mide más de 90º y menos de 180º
1. Dibujar con el transportador los siguientes ángulos y trazar la bisectriz en cada uno de ellos:
a) 60o b) 1640 c) 120o d) 240o e) 35o f) 1350 g) 45o h) 260o i) 114o j) 100o
2. Cuál es el valor de los ángulos que forman las manecillas del reloj cuando son:
a) 12 m b) 3 p.m c) 9 y ¼ a.m d) 6 p.m e) 3 y ½ a.m f) 12 y 45 p.m
C L A S E S D E Á N G U L O S
Complementarios y Suplementarios
Complementarios
Son dos ángulos cuya suma es igual a 90o, o a un ángulo recto
Suplementarios
Son dos ángulos cuya suma es igual a 180o, o a un ángulo llano o colineal
Según su posición
Consecutivos
Tienen un lado común que separe a los otros dos.
Teorema: Los ángulos consecutivos formados a un lado
De una recta, suman 180o
Adyacentes
Son los que tienen un lado común y los otros dos lados
Pertenecen a una misma recta.
Teorema: Dos ángulos adyacentes son suplementarios
Opuestos por el vértice
Son los que tienen el mismo vértice y los lados de uno son la prolongación de los lados del otro
Teorema: Los ángulos opuestos por el vértice son iguales
Según su medida
Agudo
Es el que mide menos de 90º
Recto
Es el que mide 90º
Obtuso
Es el que mide más de 90º y menos de 180º
Llano
Es el que mide 180º
PROPIEDADES DE LOS ÁNGULOS
ü Los ángulos que tienen el mismo complemento son iguales o congruentes
ü Los ángulos que tienen el mismo suplemento son iguales o congruentes
ü Los ángulos opuestos por el vértice son iguales o congruentes
Dos semi-rectas que tienen un mismo vértice dividen el plano en dos regiones diferentes; una es mayor que un semiplano (parte sombreada) y la otra es mayor que el semiplano, cada una de ella forma un ángulo.
Es el que mide 180º
PROPIEDADES DE LOS ÁNGULOS
ü Los ángulos que tienen el mismo complemento son iguales o congruentes
ü Los ángulos que tienen el mismo suplemento son iguales o congruentes
ü Los ángulos opuestos por el vértice son iguales o congruentes
Dos semi-rectas que tienen un mismo vértice dividen el plano en dos regiones diferentes; una es mayor que un semiplano (parte sombreada) y la otra es mayor que el semiplano, cada una de ella forma un ángulo.
CÓNCAVO: Es el ángulo mayor de un semiplano
CONVEXO: Es el ángulo menor de un semiplano
ACTIVIDAD
CONVEXO: Es el ángulo menor de un semiplano
ACTIVIDAD
1. Encuentre el complemento de los siguientes ángulos:
a) 41º b) 78º c) 40º 25' d) 24º 47' e) 35º 40' 30” f) 30o 15’ 26"
2. Halle el suplemento de los siguientes ángulos:
a) 750 b) 110º c) 145º 20' d) 87º 43' e) 100º 40" f) 97º 24"
3. Calcular el valor de un ángulo que es el triple de su complemento
4. Calcular el valor de un ángulo que es el triple de su suplemento
5. Calcular el valor de dos ángulos complementarios sabiendo que uno es el doble del otro
6. Calcular el valor de dos ángulos complementarios sabiendo que uno es el cinco veces el otro
7. Un ángulo tiene 36º más que su suplemento. Calcular los dos ángulos
8. Un ángulo tiene 12º más que su complemento. Calcular los dos ángulos
9. Si el complemento del ángulo X es 3X, calcular el valor de X
10. Calcular el valor de un ángulo que es el triple de su complemento
11. Calcular el valor de un ángulo que es el triple de su suplemento
12. Calcular el valor de dos ángulos complementarios sabiendo que uno es el doble del otro
13. Calcular el valor de dos ángulos complementarios sabiendo que uno es el cinco veces el otro
14. Un ángulo tiene 36º más que su suplemento. Calcular los dos ángulos
15. Un ángulo tiene 12º más que su complemento. Calcular los dos ángulos
16. Si el complemento del ángulo X es 3X, calcular el valor de X
17. Hallar dos ángulos suplementarios tales que su diferencia sea 58º.
18. Hallar dos ángulos complementarios tales que su diferencia sea 18o.
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